Bolek Muravec
Dla większości z nas geometria kojarzy się z cyrklem, linijką i rysowaniem trójkątów na kartce papieru. To intuicyjne, namacalne podejście do przestrzeni towarzyszy ludzkości od starożytności. Jednak współczesna nauka i technologia wymagają czegoś więcej niż tylko rysunku. Wymagają języka, który potrafi opisać nie tylko to, co widzimy, ale i to, co możemy sobie jedynie wyobrazić w wielowymiarowych przestrzeniach. Tym językiem są macierze – dziwne, matematyczne obiekty, które na pierwszy rzut oka wyglądają jak zwykłe tabelki w Excelu, a w rzeczywistości są potężnymi maszynami do przetwarzania rzeczywistości.
Kiedy przeglądamy najważniejsze wiadomości ze świata technologii, rzadko zastanawiamy się, co sprawia, że grafika w grach komputerowych wygląda tak realistycznie, albo jak sztuczna inteligencja rozpoznaje twarze. U podstaw tych procesów leży fundamentalne przejście od myślenia obrazkowego do myślenia algebraicznego. To moment, w którym przestrzeń przestaje być „miejscem”, a staje się strukturą matematyczną opisaną przez wektory i macierze. To właśnie ta transformacja pozwala nam zamknąć nieskończoność kosmosu w skończonej pamięci komputera.
Wektor – strzałka, która nadaje kierunek światu
Aby zrozumieć potęgę macierzy, musimy najpierw spojrzeć na jej mniejszego brata – wektor. W szkole uczymy się, że wektor to strzałka mająca zwrot, kierunek i długość. Jednak w nowoczesnej matematyce wektor to coś znacznie bardziej abstrakcyjnego: to uporządkowana lista liczb.
Gdy opisujemy położenie samolotu w przestrzeni, używamy trzech liczb (współrzędnych). Gdy opisujemy stan rynku giełdowego, możemy używać tysięcy liczb. Dla matematyki nie ma różnicy – jedno i drugie jest wektorem. To podejście pozwala oderwać się od fizycznej intuicji „strzałki” i wejść w świat przestrzeni liniowych. Przestrzeń przestaje być wtedy tylko „pudełkiem”, w którym żyjemy, a staje się zbiorem wszelkich możliwych stanów danego obiektu, czy to cząsteczki gazu, czy profilu użytkownika w serwisie społecznościowym.
Macierz – maszyna do zaginania przestrzeni
Tu na scenę wkraczają macierze. Prostokątne tablice liczb, które dla niewtajemniczonych wydają się nudnym zbiorem danych, są w istocie operatorami. Co to oznacza? Macierz to instrukcja działania. Jeśli wektor jest punktem w przestrzeni, to macierz jest siłą, która ten punkt przesuwa, obraca, rozciąga lub ściska.
To właśnie dzięki mnożeniu macierzy Twój komputer potrafi w ułamku sekundy obrócić trójwymiarowy model postaci w grze wideo. Każdy piksel na ekranie jest przeliczany przez potężne układy macierzowe kart graficznych. Ale zastosowania sięgają głębiej. W fizyce kwantowej macierze opisują stany energetyczne atomów, a w teorii względności pomagają modelować zakrzywienie czasoprzestrzeni. To fascynujące, że obiekt wyglądający jak fragment arkusza kalkulacyjnego, posiada moc deformowania matematycznej rzeczywistości.
Wycieczka w wyższe wymiary
Najbardziej niezwykłą cechą algebry liniowej jest to, że nie boi się ona wymiarów, których nasze mózgi nie potrafią sobie zwizualizować. Geometria euklidesowa kończy się dla nas na trzech wymiarach. Matematyka macierzowa mówi: „dlaczego nie sto?”.
Współczesna nauka operuje na obiektach wielowymiarowych. Tensory (uogólnienie macierzy) pozwalają inżynierom i fizykom poruszać się w przestrzeniach n-wymiarowych z taką samą swobodą, z jaką my poruszamy się po pokoju. To właśnie w tych abstrakcyjnych, „dziwnych” przestrzeniach geometrycznych dzieje się prawdziwa magia – od trenowania sieci neuronowych, które uczą się w tysiącach wymiarów parametrów, po teorie strun próbujące opisać fundamentalną naturę materii. Przejście od prostej geometrii kreślonej na piasku do algebry macierzy było jednym z najważniejszych skoków cywilizacyjnych, zamieniając naszą intuicję w precyzyjne narzędzie obliczeniowe.