Bolek Muravec
Dla przeciętnego człowieka liczba to po prostu narzędzie – coś, co pozwala sprawdzić stan konta, zmierzyć mąkę na ciasto albo policzyć dni do urlopu. Jednak dla matematyków „ilość” to pojęcie, które ewoluowało przez tysiąclecia, często w bólach i sporach. Od prostych liczb naturalnych, przez ułamki, aż po budzące grozę liczby zespolone – każdy nowy rodzaj liczb był rewolucją, która poszerzała horyzonty naszego poznania.
Zaczęło się niewinnie. Nasi przodkowie potrzebowali jedynie liczb naturalnych (1, 2, 3…), by policzyć upolowane zwierzęta czy członków plemienia. To było intuicyjne i namacalne. Jednak świat szybko okazał się bardziej skomplikowany. Śledząc najnowsze wiadomości ze świata nauki i technologii, widzimy dzisiaj efekty procesów, które zapoczątkowali starożytni kupcy. Kiedy trzeba było podzielić bochenek chleba na dwie części, liczby naturalne przestały wystarczać. Tak narodziły się liczby wymierne – ułamki. Był to pierwszy moment, w którym człowiek musiał zaakceptować istnienie wielkości, której nie da się wyrazić „w całości”. To, co dziś wydaje się banalne dla ucznia podstawówki, dla starożytnych było wielkim skokiem intelektualnym: zrozumienie, że pomiędzy jedynką a dwójką kryje się nieskończony wszechświat mniejszych części.
Szok starożytnych Greków i dziury na osi liczbowej
Prawdziwy wstrząs nastąpił jednak w starożytnej Grecji. Pitagorejczycy, którzy wierzyli, że wszystko da się zapisać jako stosunek dwóch liczb całkowitych (czyli ułamek), stanęli przed problemem przekątnej kwadratu o boku 1. Okazało się, że jej długości (pierwiastka z 2) nie da się wyrazić żadnym ułamkiem. Było to odkrycie tak przerażające, że według legendy trzymano je w tajemnicy.
Tak ludzkość odkryła liczby niewymierne. Okazało się, że oś liczbowa jest pełna „dziur”, których nie wypełniają ułamki. Dopiero dołożenie liczb niewymiernych do wymiernych stworzyło zbiór liczb rzeczywistych – ciągłą linię, na której każdy punkt ma swoje miejsce. To właśnie liczby rzeczywiste stały się fundamentem fizyki klasycznej i inżynierii. Dzięki nim możemy mierzyć odległość, czas i prędkość z dowolną precyzją. Wydawało się, że gmach matematyki jest kompletny. Ale natura miała w zanadrzu jeszcze jedną niespodziankę.
Liczby, których „nie ma”, a jednak działają
W XVI wieku matematycy próbujący rozwiązywać równania wielomianowe natrafili na ścianę: pierwiastek z liczby ujemnej. W świecie liczb rzeczywistych coś takiego nie istnieje – żadna liczba podniesiona do kwadratu nie da wyniku ujemnego. Początkowo traktowano to jako błąd sztuki, nonsens. Kartezjusz pogardliwie nazwał te twory „liczbami urojonymi”.
A jednak, te „niemożliwe” liczby – połączone z liczbami rzeczywistymi w system liczb zespolonych – okazały się kluczem do zrozumienia nowoczesnej fizyki. Liczby zespolone to już nie punkty na prostej, ale punkty na płaszczyźnie. Pozwalają one opisywać zjawiska, w których ważna jest nie tylko wielkość, ale i faza – na przykład prąd zmienny, fale radiowe czy mechanikę kwantową.
To fascynujący paradoks: obiekty, które powstały jako matematyczna abstrakcja, „urojenie” niemające odpowiednika w prostym liczeniu jabłek, stały się niezbędne do skonstruowania smartfona, na którym czytasz ten tekst. Ewolucja od liczb naturalnych do zespolonych pokazuje, że nasze rozumienie „ilości” nie jest dane raz na zawsze. Jest to elastyczna konstrukcja, którą rozbudowujemy, gdy tylko rzeczywistość mówi nam: „sprawdzam”.