Bolek Muravec
W świecie matematyki są problemy, które kurzą się w bibliotekach przez dekady, i są ludzie, którzy ścierają ten kurz jednym wpisem na blogu. Terence Tao, laureat Medalu Fieldsa i niekwestionowany lider współczesnej matematyki, w grudniu 2025 roku ogłosił rozwiązanie kolejnych problemów postawionych przez legendarnego Paula Erdősa. Tym razem chodzi o tajemnicze zachowanie ciągów liczb w relacji do tzw. liczb bezkwadratowych.
Jeśli śledzisz najnowsze wiadomości ze świata nauki, wiesz, że Paul Erdős był ekscentrykiem, który podróżował z walizką, sypiał po 4 godziny na dobę i zostawiał po sobie setki otwartych problemów, często oferując za ich rozwiązanie symboliczne nagrody pieniężne. Choć węgierski matematyk nie żyje od niemal trzech dekad, jego „Listy Problemów” wciąż spędzają sen z powiek badaczom. Terence Tao, systematycznie „czyszczący” tę listę, wziął na warsztat problemy nr 1102 i 1103, dotyczące gęstości ciągów liczbowych.
Taniec z liczbami bezkwadratowymi
O co dokładnie chodzi w najnowszym odkryciu? Tao skupił się na tzw. liczbach bezkwadratowych (ang. square-free numbers) – czyli takich liczbach całkowitych, które nie dzielą się przez żaden kwadrat liczby innej niż 1 (np. 6, 10, 15, ale już nie 12, bo 12 dzieli się przez 4). Erdős zastanawiał się, jak szybko może rosnąć ciąg liczb naturalnych, jeśli nałożymy na niego specyficzne ograniczenia związane z interakcją właśnie z liczbami bezkwadratowymi.
W swoim grudniowym wpisie Tao wykazał, wykorzystując zaawansowane narzędzia takie jak metoda macierzowa Maiera oraz sito duże (ang. large sieve), że takie ciągi muszą mieć gęstość zerową, ale – co zaskakujące – mogą rosnąć „dowolnie wolno”. To subtelna, ale kluczowa różnica w teorii liczb, która pokazuje, jak delikatna jest struktura liczb naturalnych, gdy zaczynamy badać ich głębsze właściwości arytmetyczne.
Era matematyki wspomaganej
Choć sam wynik jest triumfem ludzkiego intelektu, kontekst tego odkrycia jest równie fascynujący. Tao od dłuższego czasu promuje ideę „matematyki kolaboratywnej” i wspomaganej technologią. Rozwiązanie problemów Erdősa w 2025 roku zbiega się z rosnącym znaczeniem baz danych i narzędzi AI, które pomagają w katalogowaniu i wstępnej analizie hipotez.
Na swoim blogu Tao wielokrotnie wspominał o projekcie cyfryzacji problemów Erdősa. Dzięki temu społeczność matematyczna może w czasie rzeczywistym śledzić postępy i atakować problemy z różnych stron. Grudniowy sukces jest dowodem na to, że nawet w erze sztucznej inteligencji, to wciąż ludzka intuicja – wsparta potężnym aparatem technicznym – jest kluczem do zrozumienia nieskończoności. Rozwiązanie problemów 1102 i 1103 to nie tylko kolejna „cegiełka” w murze wiedzy, to dowód na to, że dziedzictwo Erdősa w rękach takich wizjonerów jak Tao wciąż żyje i inspiruje.