Problemy Hilberta po 126 latach: które wielkie zagadki matematyki nadal czekają na rozwiązanie

Problemy Hilberta nadal nie są zamkniętym rozdziałem historii matematyki. Spośród 23 zagadnień przedstawionych przez Davida Hilberta na przełomie XIX i XX wieku część rozwiązano, część otrzymała odpowiedzi tylko w określonych przypadkach, a kilka pozostaje otwartych mimo 126 lat badań, rozwoju komputerów i powstania nowych działów matematyki, informuje redakcja TopFlop.

Najnowsze zestawienie opublikowane 18 czerwca 2026 roku przez Simons Foundation pokazuje, że prosty podział na problemy rozwiązane i nierozwiązane jest mylący. Za bezspornie otwarte uznaje się między innymi hipotezę Riemanna, dwunasty problem dotyczący rozszerzeń teorii ciał oraz szesnasty problem o topologii krzywych algebraicznych. W przypadku kilku innych odpowiedź brzmi: rozwiązano szczególny przypadek, lecz nie cały program badawczy zapisany przez Hilberta.

Skąd wzięły się 23 problemy Hilberta

David Hilbert przedstawił swój program podczas II Międzynarodowego Kongresu Matematyków w Paryżu w sierpniu 1900 roku. W samym wykładzie omówił dziesięć problemów, natomiast pełna opublikowana wersja zawierała 23 zagadnienia dotyczące między innymi teorii liczb, geometrii, logiki, równań różniczkowych, rachunku wariacyjnego oraz podstaw fizyki. Nie były to zadania przypominające szkolne równania z jedną niewiadomą, lecz propozycje całych kierunków badań.

Hilbert chciał wskazać pytania wystarczająco trudne, by wymagały nowych metod, ale jednocześnie sformułowane na tyle konkretnie, aby można było rozpoznać poprawne rozwiązanie. Jego lista stała się mapą rozwoju matematyki XX wieku. Niektóre problemy rozwiązano po kilku miesiącach, inne po dziesięcioleciach, a część okazała się niemożliwa do rozstrzygnięcia w formie oczekiwanej przez autora.

W oryginalnym wykładzie Hilbert podkreślał:

„Oto problem, szukaj rozwiązania. Możesz je znaleźć przez czyste myślenie” — David Hilbert, wykład podczas kongresu matematyków w Paryżu w 1900 roku.

Pełny historyczny tekst przemówienia można przeczytać w archiwum Uniwersytetu w Getyndze. Szerszy kontekst rozwoju dyscypliny przedstawia także historia matematyki od pierwszych systemów liczbowych do współczesnych algorytmów.

Najważniejsze daty:

• 8 sierpnia 1900 roku — Hilbert wygłosił wykład w Paryżu;
• 1900 rok — Max Dehn rozwiązał trzeci problem Hilberta;
• 1931 rok — twierdzenia Gödla zmieniły ocenę drugiego problemu;
• 1934 rok — rozwiązano siódmy problem dotyczący liczb przestępnych;
• 1957 rok — Kołmogorow i Arnold odpowiedzieli na klasyczną wersję problemu trzynastego;
• 1959 rok — Masayoshi Nagata podał kontrprzykład do problemu czternastego;
• 1970 rok — Jurij Matijasiewicz zakończył klasyczną wersję problemu dziesiątego;
• 1998 rok — Thomas Hales ogłosił dowód optymalnego upakowania kul;
• 2026 rok — kilka problemów nadal figuruje jako otwarte, częściowo rozwiązane lub zbyt szerokie.

Które problemy Hilberta nadal pozostają nierozwiązane

Najbardziej rygorystyczna odpowiedź wskazuje dziś przede wszystkim problemy numer 8, 12 i 16. Simons Foundation klasyfikuje je w 2026 roku jako nierozwiązane, choć w każdym przypadku matematycy osiągnęli liczne wyniki częściowe. Do grupy zagadnień wymagających dalszych badań należą również problemy 1, 2, 6, 9 i 15, lecz ich status jest bardziej złożony.

Problemem jest sama definicja „rozwiązania”. Hilbert formułował pytania w języku używanym ponad sto lat temu, zanim powstały liczne dzisiejsze teorie. Czasami odpowiedź rozstrzyga pierwotne pytanie, ale odsłania jego szerszą i trudniejszą wersję.

Numer	Główne zagadnienie	Status w 2026 roku	Najważniejsza przeszkoda
1	Hipoteza continuum	status złożony	niezależność od standardowych aksjomatów teorii mnogości
2	Niesprzeczność arytmetyki	status złożony	twierdzenia o niezupełności Gödla
6	Aksjomatyzacja fizyki	rozwiązany w części	brak jednego formalnego systemu dla całej fizyki
8	Problemy liczb pierwszych	nierozwiązany	brak dowodu hipotezy Riemanna
9	Ogólne prawo wzajemności	status złożony	znane są liczne, lecz nie wszystkie przypadki
12	Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera	nierozwiązany	pełna konstrukcja szczególnych rozszerzeń ciał
15	Podstawy rachunku Schuberta	status sporny	brak powszechnego konsensusu co do kompletności rozwiązania
16	Topologia krzywych algebraicznych	nierozwiązany	brak klasyfikacji możliwych układów krzywych
19, 20, 23	Rachunek wariacyjny	status złożony	szerokie i otwarte sformułowania

Nie oznacza to, że pozostałe problemy są martwe. W wielu przypadkach pierwotna odpowiedź rozpoczęła nową dziedzinę badań zamiast ją zakończyć.

Hipoteza Riemanna pozostaje najgłośniejszą zagadką

Ósmy problem Hilberta obejmował kilka pytań związanych z liczbami pierwszymi. Najważniejszym z nich jest hipoteza Riemanna, sformułowana pierwotnie przez Bernharda Riemanna w 1859 roku. Dotyczy ona miejsc zerowych funkcji dzeta Riemanna i ich położenia na płaszczyźnie liczb zespolonych.

Hipoteza zakłada, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe tej funkcji mają część rzeczywistą równą 1/2. To techniczne zdanie opisuje jednak jedną z podstawowych struktur teorii liczb: rozkład liczb pierwszych. Wiadomo, że liczby pierwsze stają się rzadsze wraz ze wzrostem wartości, ale ich dokładne rozmieszczenie nie podlega prostemu wzorowi.

Według Clay Mathematics Institute komputerowo sprawdzono ponad 1,5 miliarda początkowych miejsc zerowych i wszystkie spełniały warunek Riemanna. Taka weryfikacja nie jest jednak dowodem. Nawet biliony zgodnych przypadków nie wykluczają istnienia jednego wyjątku poza zbadanym zakresem.

Konsekwencje rozwiązania obejmowałyby między innymi:

• dokładniejsze oszacowania rozmieszczenia liczb pierwszych;
• rozstrzygnięcie wielu twierdzeń zależnych dziś od założenia prawdziwości hipotezy;
• nowe narzędzia w analitycznej teorii liczb;
• możliwe skutki dla algorytmów wykorzystujących własności liczb pierwszych;
• lepsze rozumienie związku między teorią liczb, analizą zespoloną i fizyką matematyczną.

Hipoteza Riemanna znajduje się również na liście siedmiu problemów milenijnych. Za poprawny dowód Clay Mathematics Institute przewiduje nagrodę w wysokości miliona dolarów. Oficjalny opis zagadnienia jest dostępny na stronie Clay Mathematics Institute.

Problem szesnasty: jak skomplikowana może być krzywa algebraiczna

Szesnasty problem Hilberta składa się z dwóch części dotyczących geometrii i równań różniczkowych. Pierwsza pyta o możliwe położenie i liczbę zamkniętych składowych rzeczywistych krzywych algebraicznych. Druga dotyczy liczby cykli granicznych w układach równań różniczkowych na płaszczyźnie.

Krzywa algebraiczna jest zbiorem punktów spełniających równanie wielomianowe. Proste przykłady to okrąg, elipsa czy parabola, ale dla wielomianów wyższych stopni powstają figury z wieloma pętlami, przecięciami i oddzielnymi fragmentami. Hilbert chciał ustalić, jakie konfiguracje są możliwe dla każdego stopnia równania.

Wiadomo między innymi, że maksymalna liczba składowych gładkiej rzeczywistej krzywej płaskiej stopnia (d) nie może przekraczać:

[
\frac{(d-1)(d-2)}{2}+1
]

Granica ta wynika z twierdzenia Harnacka. Nie rozstrzyga jednak, które układy wzajemnego położenia poszczególnych owali rzeczywiście mogą wystąpić. Według aktualnego przeglądu problem pozostaje otwarty nawet dla krzywych stosunkowo niskiego stopnia, w tym pełnej klasyfikacji stopnia ósmego.

Najważniejsze obszary badań obejmują:

1. liczbę rzeczywistych składowych krzywej;
2. sposób, w jaki składowe mogą znajdować się wewnątrz siebie;
3. relacje między topologią a współczynnikami wielomianu;
4. klasyfikację cykli granicznych układów dynamicznych;
5. znalezienie uniwersalnych górnych ograniczeń.

Czytelne wprowadzenie do pojęcia przestrzeni i geometrii abstrakcyjnej daje materiał o przestrzeniach matematycznych opisujących rzeczywistość.

Dwunasty problem Hilberta: brakujący element teorii liczb

Dwunasty problem dotyczy rozszerzenia klasycznych wyników Leopolda Kroneckera na bardziej ogólne ciała liczbowe. W uproszczeniu matematycy szukają jawnego sposobu konstruowania określonych rozszerzeń liczb za pomocą szczególnych wartości funkcji analitycznych. Dla liczb wymiernych oraz niektórych ciał urojonych kwadratowych teoria jest dobrze rozwinięta.

Dla ogólnych ciał liczbowych takiej kompletnej teorii nadal nie ma. Problem wiąże się z teorią ciał klas, formami modularnymi, reprezentacjami Galois oraz programem Langlandsa. Każda z tych dziedzin ma własny rozbudowany aparat pojęciowy, dlatego nie istnieje jedna krótka droga prowadząca do odpowiedzi.

Postęp jest znaczny, ale fragmentaryczny:

• dla ciała liczb wymiernych kluczową rolę odgrywają pierwiastki z jedności;
• dla urojonych ciał kwadratowych stosuje się szczególne wartości funkcji modularnych;
• dla rzeczywistych ciał kwadratowych znane są ważne konstrukcje częściowe;
• w wyższych stopniach nie istnieje ogólna, jawna metoda;
• nowe podejścia łączą teorię liczb z geometrią arytmetyczną.

To przykład problemu, którego nie da się opisać prostym „tak” lub „nie”. Rozwiązanie musiałoby nie tylko potwierdzić istnienie określonych obiektów, ale również wskazać sposób ich konstruowania i wyjaśnić strukturę całej teorii.

Podobny mechanizm porządkowania rozbudowanych informacji — od ogólnej zasady do konkretnych przypadków — stosuje się również w materiałach poradnikowych publikowanych przez swiatskarpet.pl, choć tutaj dotyczy on znacznie bardziej abstrakcyjnego obszaru wiedzy.

Hipoteza continuum: odpowiedź brzmi „zależy od aksjomatów”

Pierwszy problem Hilberta dotyczy rozmiarów nieskończoności. Georg Cantor wykazał, że zbiór liczb rzeczywistych jest liczniejszy niż zbiór liczb naturalnych. Hipoteza continuum mówi, że między tymi dwoma rozmiarami nieskończoności nie istnieje żaden rozmiar pośredni.

Kurt Gödel wykazał w 1940 roku, że hipotezy continuum nie można obalić przy użyciu standardowych aksjomatów teorii mnogości, o ile same te aksjomaty są niesprzeczne. Paul Cohen udowodnił w 1963 roku, że nie można jej również udowodnić na podstawie tego samego systemu. Oznacza to, że hipoteza jest niezależna od aksjomatów Zermela-Fraenkla z aksjomatem wyboru, oznaczanych skrótem ZFC.

Nie jest to tradycyjne rozwiązanie polegające na wskazaniu, że zdanie jest prawdziwe albo fałszywe. Matematycy mogą przyjąć dodatkowe aksjomaty, w których hipoteza continuum obowiązuje, albo inne, w których jest fałszywa. Badania koncentrują się więc na wyborze i konsekwencjach nowych zasad teorii mnogości.

Najważniejsze ustalenia:

Pytanie	Odpowiedź
Czy hipotezę continuum można udowodnić w ZFC?	Nie, jeśli ZFC jest niesprzeczne
Czy można ją obalić w ZFC?	Nie, jeśli ZFC jest niesprzeczne
Czy hipoteza ma jednoznaczny status bez dodatkowych aksjomatów?	Nie
Czy badania zostały zakończone?	Nie, trwają prace nad dodatkowymi aksjomatami
Czy problem uznaje się za rozwiązany?	Status pozostaje złożony

Ten przypadek pokazał, że nie każde poprawnie sformułowane pytanie matematyczne musi mieć odpowiedź dostępną w przyjętym systemie aksjomatów.

Drugi problem i granice formalnych dowodów

Drugi problem Hilberta wymagał dowodu niesprzeczności arytmetyki. Hilbert chciał wykazać za pomocą ścisłych, skończonych metod, że podstawowe reguły matematyczne nigdy nie doprowadzą jednocześnie do zdania i jego zaprzeczenia. Taki wynik miał zapewnić bezpieczny fundament całej dyscyplinie.

W 1931 roku Kurt Gödel opublikował twierdzenia o niezupełności. Wynika z nich między innymi, że dostatecznie silny i niesprzeczny system formalny nie może udowodnić własnej niesprzeczności wyłącznie za pomocą dostępnych w nim metod. Tym samym pierwotny program Hilberta nie mógł zostać zrealizowany w zakładanej postaci.

Nie oznacza to, że arytmetyka została uznana za sprzeczną. Matematycy mogą dowodzić jej niesprzeczności w systemach silniejszych, ale wtedy pojawia się pytanie o niesprzeczność systemu użytego do przeprowadzenia dowodu. Problem przesuwa się o poziom wyżej.

Konsekwencje twierdzeń Gödla:

• rozdzielenie prawdziwości zdania od jego dowodliwości w danym systemie;
• wykazanie istnienia zdań nierozstrzygalnych;
• ograniczenie programu pełnej formalizacji matematyki;
• rozwój logiki matematycznej i teorii dowodu;
• wpływ na informatykę teoretyczną i teorię obliczeń.

Drugi problem jest dlatego klasyfikowany jako zagadnienie o złożonym statusie, a nie jako prosto rozwiązane lub nierozwiązane.

Aksjomatyzacja fizyki nadal jest programem, nie jednym zadaniem

Szósty problem Hilberta wzywał do stworzenia matematycznych podstaw tych działów fizyki, w których formalne modele odgrywają najważniejszą rolę. Hilbert wymieniał między innymi rachunek prawdopodobieństwa oraz przejście od opisu atomistycznego do praw ruchu ośrodków ciągłych.

W ciągu 126 lat zaksjomatyzowano wiele teorii. Powstały formalne podstawy mechaniki klasycznej, teorii prawdopodobieństwa, mechaniki kwantowej i licznych modeli statystycznych. Nie oznacza to jednak, że cała fizyka została zamknięta w jednym kompletnym systemie.

Aktualizacja Simons Foundation wskazuje na istotny postęp z 2025 roku, kiedy Yu Deng, Zaher Hani i Xiao Ma przedstawili wyniki dotyczące rygorystycznego przejścia od opisu kinetycznego cząstek do równań dynamiki płynów. Jest to ważny fragment programu Hilberta, lecz nie jego ostateczne zakończenie.

Główne otwarte obszary obejmują:

• pełne matematyczne podstawy kwantowej teorii pola;
• rygorystyczne wyprowadzenie praw makroskopowych z dynamiki cząstek;
• relację mechaniki kwantowej z grawitacją;
• istnienie i regularność rozwiązań równań opisujących płyny;
• formalne podstawy teorii statystycznych stosowanych w fizyce.

Problem szósty jest więc rozwiązywany warstwami. Każda teoria może otrzymać własne aksjomaty i dowody, ale nie istnieje jedno twierdzenie zamykające całą fizykę matematyczną.

Które problemy Hilberta zostały bezspornie rozwiązane

Pierwszym zamkniętym zagadnieniem był problem trzeci. Max Dehn już w 1900 roku wykazał, że nie każde dwa wielościany o tej samej objętości można pociąć na skończoną liczbę części i złożyć jeden z drugiego. Wprowadził w tym celu niezmiennik znany dziś jako niezmiennik Dehna.

Kolejne rozwiązania wymagały często stworzenia całkiem nowych teorii. Siódmy problem został rozwiązany dzięki twierdzeniu Gelfonda-Schneidera, a dziesiąty doprowadził do wykazania, że nie istnieje uniwersalny algorytm rozstrzygający rozwiązywalność wszystkich równań diofantycznych. Czternasty problem zakończył się kontrprzykładem, a nie potwierdzeniem przypuszczenia Hilberta.

Za rozwiązane lub zasadniczo rozstrzygnięte uznaje się między innymi:

• problem 3 — równoważność przez rozcinanie wielościanów;
• problem 7 — przestępność określonych potęg liczb algebraicznych;
• problem 10 — brak ogólnego algorytmu dla równań diofantycznych;
• problem 14 — kontrprzykład Nagaty do skończoności pierścieni niezmienników;
• problem 17 — przedstawianie dodatnich funkcji wymiernych jako sum kwadratów;
• problem 18 — między innymi optymalne upakowanie kul;
• problem 21 — istnienie układów równań o zadanej monodromii.

Niektóre z tych rozwiązań mają formę negatywną. Hilbert pytał, czy dany algorytm, konstrukcja lub własność istnieje, a matematycy dowiedli, że nie może istnieć w pełnej ogólności. W matematyce taki kontrprzykład jest równie ostatecznym rozwiązaniem jak dowód twierdzenia.

Współczesne przykłady rozwiązywania wieloletnich zagadek pokazuje materiał o tym, jak Terence Tao pracuje nad problemami pozostawionymi przez Paula Erdősa.

Dlaczego komputer nie rozwiązał jeszcze wszystkich problemów

Komputery radykalnie zmieniły matematykę. Pozwalają sprawdzać miliardy przypadków, analizować ogromne przestrzenie konfiguracji oraz formalnie weryfikować wielostronicowe dowody. Nie zastępują jednak ogólnego argumentu obejmującego nieskończoną liczbę przypadków.

Przykładem jest hipoteza Riemanna. Sprawdzenie kolejnych miejsc zerowych zwiększa zaufanie do hipotezy, lecz nie wyklucza wyjątku pojawiającego się dalej. Podobnie w problemie szesnastym komputer może klasyfikować krzywe określonego stopnia, ale samo przeszukanie wielu przykładów nie tworzy uniwersalnego twierdzenia.

Najważniejsze ograniczenia metod komputerowych:

1. Nie można przeliczyć nieskończonej liczby przypadków.
2. Wynik numeryczny może zależeć od błędów zaokrągleń.
3. Program również wymaga weryfikacji poprawności.
4. Znalezienie wzorca nie jest równoznaczne z dowodem.
5. Niektóre problemy dotyczą istnienia algorytmu, a nie wykonania obliczenia.
6. Sformułowanie właściwego pojęcia często wymaga ludzkiej intuicji.

Komputery bywają natomiast częścią pełnoprawnego dowodu. Dowód twierdzenia o czterech barwach czy formalna weryfikacja rozwiązania problemu upakowania kul wykorzystują obliczenia, lecz opierają się na ściśle opisanym systemie logicznym.

Dlaczego lista Hilberta nadal ma znaczenie

Lista nie jest wyłącznie katalogiem historycznych zagadek. Pokazuje, jak dobrze dobrane pytanie potrafi uruchomić rozwój całej dziedziny. Problem dziesiąty doprowadził do fundamentalnych wyników w teorii obliczalności, problem osiemnasty połączył geometrię z dowodami wspomaganymi komputerowo, a pierwszy i drugi zmieniły sposób rozumienia podstaw matematyki.

Nie każde pytanie Hilberta okazało się idealnie sformułowane. Problem czwarty jest dziś uznawany za zbyt nieprecyzyjny, a dwudziesty trzeci był raczej programem dalszego rozwoju rachunku wariacyjnego niż zadaniem z wyraźnym końcem. To również cenna lekcja: jakość problemu badawczego zależy od tego, czy pozwala określić warunki rozwiązania.

Najtrwalsze skutki programu Hilberta to:

• rozwój nowych działów matematyki;
• stworzenie metod używanych daleko poza pierwotnymi problemami;
• wykazanie ograniczeń systemów formalnych;
• połączenie matematyki czystej z fizyką i informatyką;
• ustanowienie modelu publicznej listy wielkich problemów naukowych;
• inspiracja dla siedmiu problemów milenijnych ogłoszonych w 2000 roku.

Nierozwiązane problemy matematyczne nie świadczą o słabości nauki. Wyznaczają miejsca, w których dotychczasowe metody przestają wystarczać i potrzebne są nowe pojęcia, dowody albo całe teorie.

Pytania i odpowiedzi

Ile problemów Hilberta pozostaje nierozwiązanych?

Bezspornie jako nierozwiązane klasyfikuje się przede wszystkim problemy 8, 12 i 16. Kilka kolejnych, w tym 1, 2, 6, 9 i 15, ma status złożony, częściowo rozwiązany lub zależny od przyjętej interpretacji.

Czy hipoteza Riemanna jest problemem Hilberta?

Tak. Jest najważniejszą częścią ósmego problemu Hilberta dotyczącego liczb pierwszych. Należy również do siedmiu problemów milenijnych Clay Mathematics Institute.

Ile wynosi nagroda za rozwiązanie hipotezy Riemanna?

Clay Mathematics Institute przewiduje milion dolarów za poprawne rozwiązanie spełniające regulamin instytutu. Sam Hilbert nie ustanowił nagród finansowych za swoje 23 problemy.

Czy pierwszy problem Hilberta został rozwiązany?

Wykazano, że hipoteza continuum jest niezależna od standardowych aksjomatów ZFC. Nie można jej w tym systemie ani udowodnić, ani obalić, o ile system jest niesprzeczny. Dlatego status problemu określa się jako złożony.

Który problem Hilberta rozwiązano jako pierwszy?

Problem trzeci. Max Dehn podał rozwiązanie już w 1900 roku, wykorzystując nowy niezmiennik pozwalający odróżnić wielościany, których nie da się przekształcić przez skończone rozcinanie.

Czy sztuczna inteligencja może rozwiązać problemy Hilberta?

Systemy sztucznej inteligencji mogą wyszukiwać wzorce, proponować kroki dowodów i pomagać w formalnej weryfikacji. Nie istnieje jednak obecnie zaakceptowany dowód któregoś z głównych otwartych problemów Hilberta stworzony samodzielnie przez AI.

Czy wszystkie 23 problemy mają jednoznaczne rozwiązanie?

Nie. Niektóre są zbyt szerokie, inne zależą od przyjętych aksjomatów, a część została rozwiązana tylko w określonych interpretacjach. Dlatego współczesne zestawienia używają kategorii „rozwiązany”, „nierozwiązany”, „częściowo rozwiązany”, „status złożony” oraz „zbyt nieprecyzyjny”.

Warto przeczytać także nasz kolejny materiał, w którym szerzej wyjaśniamy podobny temat: Procenty w zadaniach: jak liczyć obniżki, lokaty i podatek bez błędów na egzaminie